ยินดีต้อนรับสู่วิชาคณิตศาสตร์ พื้นฐาน

วันพฤหัสบดีที่ 12 มกราคม พ.ศ. 2555

    ความซื่อสัตย์  
 ข้าพเจ้าใคร่ขอให้ท่านทั้งหลายจงมั่นอยู่ในความซื่อสัตย์สุจริต ถือเอาประโยชน์ส่วนรวมเป็นที่ตั้ง เพราะคุณธรรมอันนี้เป็นมูลฐาน อันสำคัญที่จะยังความเจริญ และความเป็นปึกแผ่นแก่สังคม เป็นบ่อเกิด แห่งความสามัคคีกลมเกลียว ความซื่อสัตย์ที่ว่านี้ หมายถึง ความสุจริต ซื่อตรงต่อหน้าที่การงาน ต่อตนเองและต่อผู้อื่น ที่เกี่ยวข้อง มีเจตนาบริสุทธิ์ไม่เอารัดเอาเปรียบ สำหรับท่านที่ใช้วิชากฎหมาย ย่อมกินความถึงการรักษาความเป็นธรรม ไม่บิดเบือน ความหมายของตัวบทกฎหมาย เพื่อประโยชน์ของตนเองด้วย ความซื่อสัตย์สุจริตจะเป็นเสมือนหนึ่งเกราะคุ้มภัยแก่ท่านตลอดไป ดังบทพระราชนิพนธ์ในพระบาทสมเด็จพระจุลจอมเกล้าเจ้าอยู่หัวที่ว่า “สุจริตคือเกราะบัง สาตรพ้อง”
ท่านทั้งหลายที่สำเร็จการศึกษาและจะได้ออกไปประกอบการงานเริ่มต้นชีวิตใหม่ของท่านนั้น ข้าพเจ้าขอฝากคติไว้เป็นเครื่องกำกับใจ มีคุณธรรมข้อหนึ่งที่สำคัญ ซึ่งท่านต้องปฏิบัติอย่างเคร่งครัดอยู่เสมอคือ ความสัตย์สุจริต ประเทศบ้านเมืองจะวัฒนาถาวรอยู่ได้ ก็ย่อมอาศัยความสัตย์สุจริตเป็นพื้นฐาน ท่านทั้งหลายจะออกไปรับราชการก็ดี หรือประกอบกิจการงานส่วนตัวก็ดี ขอให้มั่นอยู่ในคุณธรรมทั้ง ๓ ประการคือ สุจริตต่อบ้านเมือง สุจริตต่อประชาชน และสุจริตต่อหน้าที่ ท่านจึงจะเป็นผู้ที่ควรแก่การสรรเสริญของ มวลชนทั่วไป ข้าพเจ้าขอแสดงความยินดีต่อท่านทั้งหลาย ในเกียรติ ที่ท่านได้รับ ณ ท่ามกลางสันนิบาตนี้และขอให้ท่านจงรำลึกถึงเกียรตินี้ และรักษาไว้ด้วยความสัตย์สุจริต ให้สมกับพุทธภาษิต ว่า “คนย่อมได้เกียรติคือชื่อเสียงเพราะความสัตย์”

วันอาทิตย์ที่ 1 มกราคม พ.ศ. 2555

ฟังก์ชั่น ( Functions )

ฟังก์ชั่น คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากันด้วย
การตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ที่กำหนดให้เป็นฟังก์ชั่นหรือไม่1.ถ้ากำหนดความสัมพันธ์แบบแจกแจงสมาชิก สามารถตรวจสอบ
ได้โดยดูสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับจะต้องไม่ซ้ำกัน
ความสัมพันธ์นั้นๆ จึงจะเป็นฟังก์ชั่น
2.ถ้ากำหนดความสัมพันธ์แบบกราฟ
วิธีการตรวจสอบ ให้ลากเส้นตรงขนานกับแกน y ตัดกราฟของความสัมพันธ์นั้น
- ถ้าตัดกราฟเพียงจุดเดียว    : แสดงว่า ความสัมพันธ์นั้น เป็นฟังก์ชั่น
- ถ้าตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุด : แสดงว่า ความสัมพันธ์นั้น ไม่เป็นฟังก์ชั่น
3. ถ้ากำหนดความสัมพันธ์แบบบอกเงื่อนไข สามารถตรวจสอบได้หลายวิธี เช่น วิธีวาดกราฟ วิธีพิจารณาคู่อันดับ เป็นต้น
การใข้สัญลักษณ์ค่าของฟังก์ชั่น f ที่ x
ในกรณีที่ความสัมพันธ์ f เป็นฟังก์ชั่น เราสามารถเขียน y = f(x) แทน (x,y) ∈ f  ได้ และเรียก f(x) ว่าฟังก์ชั่น f ที่ x อ่านว่า เอฟที่เอ็กซ์ หรือ เอฟเอ็กซ์
จาก ( x , y ) ∈ f  เขียนแทนได้ด้วย ( x , f(x) ) ∈ f

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์หรือฟังก์ชั่น ( Domain and Range )
     

บทนิยาม : ให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B
     

โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Dr
     

เรนจ์ของ  r  คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Rr

     
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์ และ (x,y) ∈ r
     
ถ้าต้องการหา Dr ให้จัดสมการในรูป y = เทอมของ x แล้วพิจารณา x
     
ถ้าต้องการหา Rr ให้จัดสมการในรูป x = เทอมของ y แล้วพิจารณา y
กราฟของความสัมพันธ์หรือฟังก์ชั่น ( Domain and Range )
       
ในระบบแกนมุมฉาก สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งระหว่างคู่อันดับของจำนวนจริงกับจุดในระนาบ โดยให้ x เป็นพิกัดแรก และ y เป็นพิกัดหลัง และให้นิยามกราฟของความสัมพันธ์ได้ดังนี้
      
 บทนิยาม : ให้ R เป็นเซตของจำนวนจริง และ r เป็นสับเซตของ R x R กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดในระนาบโดยที่จุดแต่ละจุด แทนสมาชิกของความสัมพันธ์ r 
 
ฟังก์ชั่นเชิงเส้น (Linear function)   คือ ฟังก์ชั่นที่อยู่ในรูป f(x) = ax+b  เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงเช่น f(x) = 2x+1
f(x) = -3x
 f(x) = x-5 เป็นต้น
กราฟของฟังก์ชั่นเหล่านี้เป็นเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน ฟังก์ชั่นเชิงเส้น f(x) = ax+b เมื่อ a=0 จะได้ฟังก์ชั่นอยู่ในรูป f(x) = b ฟังก์ชั่นนี้มีชื่อเรียกเฉพาะว่า ‘‘ ฟังก์ชั่นคงตัว ’’ (Constant function) กราฟของฟังก์ชั่นคงตัวจะเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน x เช่น f(x) = 4 , f(x) = -2 เป็นต้น